本文对多次借金星引力设计大倾角日冕探测器轨道设计进行了研究。
１数值搜索算法
迭代初值求取考虑太阳、地球、目标星（金星）、木星四体引力建立轨道动力学模型。对该模型中的轨道计算，常归为对两点边值问题的求解。两点边值问题的搜索算法有多种［１０－１１］。本文采用状态转移矩阵迭代方法求解精确轨道。合适的迭代初值是保证该算法收敛的关键。１．１逃逸双曲线超速基于影响球观点的圆锥曲线拼接法设计行星际轨道。先计算日心转移轨道初始速度ｖ１，再计算探测器的地心逃逸双曲线轨道超速，最后给出全部地心逃逸参数。由行星星历得出发射时刻ｔｅ地球的位置ｒｅ，到达时刻ｔｐ目标行星的位置ｒｐ。根据兰伯特定理，ｖ１唯一确定［１２］。本文采用ｐ迭代法求解ｖ１，有ｆ＝１－ｒｐｐ１（－ｃｏｓｄθ）＝１－ａｒｅ×１（－ｃｏｓｄＥ）；（１）ｆ·＝μ槡ｐｔａｎｄθ２１－ｃｏｓｄθｐ－１ｒｅ－１ｒ（）ｐ＝－μ槡ａｒｅｒｐｓｉｎｄＥ；（２）ｇ＝ｒｅｒｐｓｉｎｄθμ槡ｐ＝ｔ－ａ３槡μｄ（Ｅ－ｓｉｎｄＥ）；（３）ｇ·＝１－ｒｅｐ１（－ｃｏｓｄθ）＝１－ａｒｐ×１（－ｃｏｓｄＥ）．（４）式中：ｆ，ｆ·，ｇ，ｇ·为四个关于普式变量ｚ的标量函数；ｄθ为两位置矢量夹角；ｐ为轨道半通径；ａ为轨道半长轴；ｄＥ为偏近点角差；μ为太阳引力常数；ｔ为飞行时间［１３］。规定了ｐ的试探初值后可求出ｆ，ｇ，ｆ·，进而求出ｄＥ，可得飞行时间。然后ｔ和给定飞行时间对ｄｔ＝ｔｐ－ｔｅ相减，利用试探值ｐ反复迭代，直至｜ｔ－ｄｔ｜小于规定值时，停止迭代，就可求出ｖ１＝ｒｐ－ｆｒｅｇ．（５）由矢量相减原理，探测器的地心逃逸双曲线超速ｖ∞＝ｖ１－ｖｅ．（６）１．２升交点赤径和近地点幅角地心逃逸轨道初始六参数为轨道半长轴ａ、偏心率ｅ、倾角ｉ、升交点赤经Ω、近地点幅角ω和真近点角ｆｅ。其中：ａ，ｅ可直接由ｖ∞和初始地心距ｒｍ给出。规定ｆｅ＝０°。从地球出发，可有无数条双曲线轨道使飞行器以预定ｖ∞通过地球影响球边界。所有轨道均在一个旋转曲面上，每条轨道都是曲面的母线，曲面轴线方向即为ｖ∞方向。即在作用范围边界上，以垂直于旋转曲面轴线方向切出一个圆，该圆上任一点，飞行器都可以同样的ｖ∞离开地球影响球。这样就有无数组双曲线ｉ和对应的Ω。可根据发射场要求首先规定ｉ，再确定Ω，ω。由式（６）已知ｖ∞在地心惯性坐标系中的坐标为［ｘｙｚ］Ｔ，设一新坐标系ｏ－ｕｒｕｔｕｎ：ｏｕｒ轴沿ｖ∞方向；ｏｕｎ轴沿期望的双曲线所在轨道的动量距方向；ｏｕｔ轴由右手定则决定。由坐标转换可得ｖ∞熿燀燄燅００＝ｃｏｓｕｓｉｎｕ０－ｓｉｎｕｃｏｓｕ０熿燀燄００１燅１０００ｃｏｓｉｓｉｎｉ０－ｓｉｎｉｃｏｓ熿燀燄ｉ燅×ｃｏｓΩ－ｓｉｎΩ０ｓｉｎΩｃｏｓΩ０熿燀燄００１燅熿燀燄燅ｘｙｚ．（７）式中：ｕ为ｖ∞与双曲线轨道升交点节线间夹角。式（７）仅有Ω，ｕ两个未知量，可唯一确定。设双曲线轴线与ｖ∞间夹角为β，由ｃｏｓβ＝１／ｅ可求出β。最后得ω＝ｕ＋β＋１８０°。由上述分析可知：地心逃逸轨道参数的ａ，ｅ，ｉ，ｆｅ均易确定。本文由简单几何原理，结合坐标变换，补充了Ω，ω求解方法，获得了完整的地心逃逸轨道六参数。由天体力学可知，该六参数必然在基于四体引力动力学模型的轨道初值附近。本文的仿真以这些参数为状态转移矩阵搜索算法的迭代初值，从而提高了该算法的计算效率。
２金星多次借力提高轨道倾角设计
需指出的是：Ｃ３ｅ最省是设计行星际轨道极重要的指标。在火箭发动机比冲Ｉ＝３００ｓ，探测器总质量５００ｋｇ条件下，从３００ｋｍ圆停泊轨道变轨所需燃料质量和Ｃ３ｅ的关系如图１所示。为减少燃料消耗，应严格控制Ｃ３ｅ，即逃逸速度小是设计行星际轨道中的重要指标。
２．１日心过渡轨道类型选取
探测器借金星引力飞行如图２所示。图中：ｖｐ为金星轨道速度；ｖ－，ｖ＋分别为探测器飞入、飞出金星影响球时的日心轨道速度；ｂ为两矢量间的夹角；α为飞入、飞出金星影响球时两逃逸速度夹角，其大小与逃逸速度大小和探测器的近金星点距有关，已有解析公式可循。本文的目标是保证ｖ－，ｖ＋两矢量构成的平面垂直于黄道面的条件下，使ｂ较大，即使借力后探测器的轨道倾角增大。因日心过渡轨道的选取和借力后提高倾角的效果无解析公式，需用数学仿真研究其规律。本文根据简单的二体模型计算出探测器飞入、飞出金星的相对速度ｖ∞ｐ对应的速度变化量Δｖ，用获得的初值在真实动力学模型进行打靶搜索得到５种较典型的日心过渡轨道，在黄道面内的分布如图３所示（图中未考虑其与金星和地球的相位关系，实际飞行中不可能从同一点飞出）。其主要性能参数见表１。表中：ＫＴ为探测器日心过渡轨道与金星轨道周期之比；ｅ１为探测器日心过渡轨道的轨道偏心率；Δｉ为金星借力后倾角变化量。图３飞向金星的不同轨道Ｆｉｇ．３ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｏｒｂｉｔｔｏｔｈｅＶｅｎｕｓ由表１可得结论：无论采用何种轨道，１次金星借力提高倾角最多约１０°；采用霍曼轨道方案的Ｃ３ｅ最小，节省能量，但对提高轨道倾角效果不大；Ｃ３ｅ越大，Δｉ并不是越大，这就要求设计金星多次借力轨道；Ｃ３ｅ越大，ｅ也越大，这非常重要，因为本文设计多次借力时发现每次借力后探测器日心轨道偏心率均有降低，当偏心率接近零时，再次借力后轨道不会继续提高；轨道Ａ、Ｂ、Ｃ的ＫＴ均接近于１，通过合理调节其进入金星的方位，使借力后探测器日心轨道周期等于金星轨道周期，可实现再一次借力，但轨道Ｃ的Ｃ３ｅ过大，消耗的燃料过多，故不作考虑。本文选择轨道Ａ、Ｂ考察分析多次借力应遵循的规律。考虑轨道Ａ方案，继续设计金星借力后与其轨道周期相等的探测器日心过渡轨道，其与地球、金星的空间相位关系如图４所示。仿真表明第一次借力后其ｅ１很小（０．０３５），接近金星轨道的偏心率。若继续设计第二次金星借力轨道，设金星轨道速度为ｖｐ，第二次借力前探测器的日心轨道速度为ｖ－２，因两轨道周期相同，轨道接近圆形轨道，故ｖｐ，ｖ－２近似相等，且两矢量构成的平面几乎垂直于黄道面。由图２可知，飞入金星双曲线超速ｖ－ｐ∞大小可近似为ｖｐ∞＝２×ｖｐ×ｓｉｎ（９．６２／２）＝５．８６ｋｍ／ｓ。ｖ＋ｐ∞是以ｖｐ终点为原点，以ｖｐ∞为半径在空间形成的圆球弧上的一点。由图２可知：当ｖ＋ｐ∞垂直于第二次借力后的日心轨道速度ｖ＋２，且两者构成的平面垂直于黄道面时，形成新的倾角ｉ２最大为ａｓｉｎｖｐ∞／ｖ（ｐ）＝９．６４°。此处：ｉ２为第二次金星借力后倾角，与借力前ｉ１相比几乎没有增加。说明当ｅ很小时，再一次借力对提高倾角效果不明显。由上述分析可得结论：因一次金星借力提高倾角最多约１０°，故为达到黄纬２０°以上的轨道倾角，必须采用连续两次以上的金星借力方案；在保证金星借力后飞行１周再次与金星相遇的条件下，与借力前相比，探测器的日心过渡轨道偏心率将减小，且如其值接近于零，下一次金星借力后轨道倾角不会继续提高，因此首次进入金星影响球前探测器日心轨道偏心率较大是多次借力提高倾角的关键。
２．２典型轨道多次借力提高倾角效果
综合上述分析可知：应设计一种发射能量Ｃ３ｅ较低、飞入金星前的日心过渡轨道偏心率较大的轨道，以保证多次借力不断提高倾角的效果。本文选用轨道Ｂ方案设计多次金星借力轨道。沿金星轨道面方向看去，探测器的三次借力如图５所示。由图可知：每经一次借力，轨道倾角均有增加，具体过程见表２。由表２可知：采用与金星轨道周期之比为１∶１多次借力轨道，３次借力后倾角可达到１９．７６°。与直接发射倾角２０°的日冕探测器相比，轨道Ｂ方案可达到相同效果，但燃料节省３ｔ。另由图可知：每次借力后ｅ１均在逐渐降低，第三次借力后ｅ１＝０．０１２１，该数值非常小，接近金星轨道的偏心率。若再进行第四次金星借力，可得ｖｐ∞＝２ｖｐｓｉｎ（１９．７６／２）＝１２．０１ｋｍ／ｓ，ｉ２＝ａｒｃｓｉｎｖ（ｐ∞／ｖｐ）＝２０．０７°。可发现倾角不再提高。实际上，是否能实现多次借力提高倾角，第一次进入金星影响球前ｅ的作用至关重要。若ｅ较小，即使增加借力次数，轨道倾角也不会增加。为达到下一次借力，必须保证借力后探测器仍与金星轨道半长轴相等，但这样借力后日心轨道的ｅ都在减小。大量仿真证明了该结论，理论解释如下。不考虑影响球，从宏观角度看，每次与金星相遇时，相当于有一沿着金星速度方向的力Ｆ作用于探测器，其作用时间ｄｔ约为０．５～１．０ｄ。设金星的速度ｖｐ方向恒定，新坐标系ｏ－ｘｙｚ的原点位于探测器质心，ｏｙ轴由日心指向探测器方向，ｏｘ轴在借力前探测轨道面内，指向探测器速度方向，ｏｚ轴沿该平面的的法线方向。将Ｆ在ｏ－ｘｙｚ系中分解，只有Ｆｘ，Ｆｙ影响ｅ的变化，有ｄｅ＝１槡－ｅ２ｎａ［Ｆｘ（ｃｏｓＥ＋ｃｏｓｆ）＋Ｆｙｓｉｎｆ］ｄｔ．（８）本文研究中，无论升交式（ｆ＜１８０°）还是降交式（１８０°＜ｆ＜３６０°）交会，Ｆｘ均为正，ｃｏｓＥ＋ｃｏｓｆ均为负；降交式Ｆｙ大于零，升交式Ｆｙ小于零。故ｄｅ始终小于零。
３结束语
本文推导了逃逸轨道设计的升交点赤径和近地点幅角的解析解，结合其它已知的四参数，可作为状态转移矩阵迭代法计算轨道的迭代初值，保证了该算法的收敛性，为仿真大量轨道带来了极大的便利。采用金星借力提高日冕探测器轨道倾角，应采用多次借力方案。对如何选择飞入金星前的日心过渡轨道设计方案，以及借力次数停止条件进行了理论证明和仿真分析。因为从地球上直接向金星发射探测器，无法保证地球逃逸能量Ｃ３ｅ很小和飞向金星前的日心过渡轨道偏心率ｅ很高的双重目标。后续工作是：设计一种多天体交会轨道，使其具有Ｃ３ｅ很小，与一个或多个天体交会后以很大的ｅ飞向金星的特点。可以预料，这种轨道设计将进一步降低对税收经济期刊运载火箭的要求，却能将倾角提高到更高。
作者:李涧青 高长生 郑建华 荆武兴 单位:哈尔滨工业大学航天学院
