1拓扑优化模型的建立
1.1节点变量法目前，对于连续体结构拓扑优化问题，通常采用单元密度为设计变量，设计域内的任一点的位移和密度采用Q4/U插值方法，如图1(a)所示。单元内任一点的密度均匀相等，通过节点的位移进行双线性插值计算得到单元内任一点的位移eu式中iu—单元节点位移iN—单元形函数m—单元的节点数e—单元内任一点的密度—单元密度这种插值方法只能保证位移场具有0C连续性，然而密度场只具有1C连续性，光滑性差，导致拓扑优化结果中出现棋盘格等数值不稳定性[10]现象。以节点密度为设计变量，单元内的位移和密度采用Q4/Q4单元插值方法，如图1(b)所示，单元内部每一点的密度不再是均匀相等，而是任意一点的位移和密度通过单元节点的位移和密度进行双线性插值求得[11,12]节点密度法保证了位移场与密度场都具有0C连续性，可以避免拓扑优化结果中的数值不稳定性现象[13]；但是这种方法不能实现最小尺寸约束。节点变量法采用映射函数表示节点设计变量与节点密度变量关系，来满足拓扑优化设计的最小尺寸约束，获得优化结构便于制造加工。映射函数采用类似于文献[14,15]提出的方法，利用最大函数表示为max()iijjd(3)式中jd—第j节点设计变量i—第i节点的子区域第节点的子区域是指以第节点为圆心，以设定最小半径minr为半径的区域，如图2(a)所示。子区域内的任一节点与节点的距离满足关系ijminirrrrj(4)式中r—i节点与j节点之间的距离ir—节点与节点相对于参考点的距离jr—节点与j节点相对于参考点的距离设定最小半径minr为指定的约束最小尺寸的一半，它决定了最优拓扑结构中的最小尺寸大小。表示在子域任意一个节点，如图2(b）所示。1.2拓扑优化模型以应变能力最小化为目标函数来满足连续体结构的刚度最大化，以体积为约束，采用映射函数表示设计变量与单元节点的密度关系来达到最小尺寸约束目的。1.3灵敏度分析移动渐近法(Methodofmovingasymptotes,MMA)采用显式的线性凸函数来近似隐式的目标和约束函数，构造移动近似子问题来得到一个原问题的近似解。MMA法对于各种结构拓扑优化问题都具有很好的鲁棒性[16]。MMA法是基于梯度的优化方法，目标函数及约束函数的灵敏度分析是必要的。
2数值算例
以悬臂梁结构为例采用节点变量法进行结构拓扑优化设计。悬臂梁结构的设计域尺寸如图3所示。悬臂梁结构的长度L与宽度H之比为8:5，载荷作用在结构右边中点，载荷大小F=1N，左边固定，材料的弹性模量E为100GPa，泊松比为0.3，体积比为0.4。为了对比说明，采用单元变密度法、过滤处理的单元变密度法和本文提出的节点密度法进行悬臂结构拓扑优化设计，设计域离散为8050个4节点矩阵单元，最小半径minr为2.5。采用不同方法获得的悬臂梁结构拓扑优化结果如图4所示。图4(a)是直接采用单元变密度法获得的拓扑图，可以看到优化结果存在棋盘格现象；图4(b)是采用过滤处理的单元变密度法获得的拓扑图，过滤处理能够消除棋盘格，但是结构边界容易出现中间密度单元；图4(c)是采用节点变量法得到的拓扑图,拓扑优化结果清晰地显现了设计区域内的黑白边界,消除了棋盘格现象。这说明节点变量法能够消除棋盘格现象，并且可以获得清晰边界结构。对设计域进行8050、160100及240150网格划分，采用提出的方法进行悬臂梁结构拓扑优化设计，拓扑优化结果如图5所示。由图5可知，在不同网格划分情况下，除了网格数越多边界越光滑外，得到的拓扑图是一致的，不存在网格依赖性。网格划分为8050，采用最小半径分别为1.5、2.5情况下，进行悬臂梁结构拓扑优化设计，拓扑结果如图6所示。映射函数通过最小半径来控制拓扑结构的最小尺寸，允许的最小尺寸是由两倍最小半径决定的。由图6可知，与最小半径为1.5相比，最小半径为2.5时拓扑优化结果出现较大的尺寸结构。这说明通过设定的最小半径来控制优化结果中的最小尺寸约束可行，并且设定的最小半径越大，拓扑图出现越大尺寸的结构，便于加工制造。
3结论
(1)采用节点变量法进行连续体结构拓扑优化设计方法是可行的，能够得到清晰材料分布的拓扑图。(2)采用节点变量法进行连续体结构拓扑优化设计，拓扑优化结果能够避免棋盘格、网格依赖性等数值不稳定性现象。(3)通过最小半径来实现拓扑优化结果中的最小尺寸约束，设定的最小半径越大，拓扑图出现越大尺寸的结构，便于加工制造。
作者：占金青 杨康 黄志超 单位：华东交通大学机电工程学院
